Герб Области Войска Донского был утверждён 5 июля 1878 года.  
В 1780 году на землях Войска Донского была образована Область Войска Донского, центр области - станица Старочеркасская. В 1806 году центр области был торжественно перенесён в город Новочеркасск. Область состояла из трех уездов: Донецкого, Ростовского и Черкасского. В 1887 году область была разделена на 9 округов: Черкасский, Донецкий, первый и второй Донские, Ростовский, Таганрогский, Усть-Медведицкий, Хоперский и Сальский (Калмыцкий).

герб на пуговке не 1878 года - отсутствуют "за щитом четыре Императорских знамени, соединенные Александровской лентою"
вернее заменены банальным венком.
то есть либо этот герб между 1857 (когда Кене разработал правила украшения земельных гербов) и 1878 (когда был принят герб соответствующий тем правилам) годами
либо поздняя фантазия.

Я не нашел никаких упоминаний о гербе этой области до 1878 г.. На всех пуговицах Донской областм, которые  сумел найти, знамена не изображены. Более того, полное официальное навание (Область Войска Донского) заменялось на сокращенное (Донская) и часто царская корона на императорскую, что просто неправильно. Пуговица периода 1878 - 1917гг. Сказать точнее трудно. Может что -то подскажет штамп производителя.

Производитель   ЗБУКЪ